コンポーネントの構成

このコンポーネントは，制御点を格子状（DataTree）に並べた入力 P から，B-スプライン曲面上の点を指定した分割数で格子状に計算し，出力 S として返します。S を FromGridPts や FromGridPts2 に繋ぐと，曲面上に梁・シェル要素のモデルを自動生成できます。形状検討・形状最適化の起点として使います。

入力データは以下の通りです。赤字は入力必須データです。

• P : 制御点の格子（DataTree）。ブランチ $i=0,\dots,N-1$ が u方向，各ブランチの中の $j=0,\dots,M-1$ 番目が v方向の並びです。長方形の格子である必要があります。
• D : 曲面の次数（既定値3）。N，M はいずれも D より大きい必要があります。
• U / V : u方向・v方向に計算する点の数（既定値10）。2以上を指定してください。

出力データは以下の通りです。

• S : 曲面上の格子点（DataTree）。ブランチ $k=0,\dots,U-1$ が u方向，各ブランチ内の $l=0,\dots,V-1$ 番目が v方向です（FromGridPts の P と同じ形）。

計算方法

制御点を $P_{i,j}$，次数を $D$ とすると，各方向の節点ベクトルはクランプ型の一様節点ベクトルです（u方向の例）。

$$ k_u=(\underbrace{0,\dots,0}{D},\,0,1,\dots,N-D,\,\underbrace{N-D,\dots,N-D}{D}) $$

$u$ は $[0,N-D]$ を U 個に，$v$ は $[0,M-D]$ を V 個に等分して評価します。基底関数はコックス・ド・ブールの漸化式で計算します。

$$ N_{i,0}(u)=\begin{cases}1 & (k_u[i]\le u<k_u[i+1])\\ 0 & (\text{otherwise})\end{cases} $$

$$ N_{i,d}(u)=\dfrac{u-k_u[i]}{k_u[i+d]-k_u[i]}N_{i,d-1}(u)+\dfrac{k_u[i+d+1]-u}{k_u[i+d+1]-k_u[i+1]}N_{i+1,d-1}(u) $$

$$ S(u,v)=\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=0}^{M-1}P_{i,j}\,N_{i,D}(u)\,N_{j,D}(v) $$

<aside> 💡 名称は「Rational B-spline」ですが，実装では制御点の重み（ウェイト）を使っておらず，重み無しの通常のB-スプライン曲面を計算しています。

</aside>

使い方

1. 制御点を長方形の格子状のDataTreeとして用意し，P に繋ぎます。